Các bài giảng về toán cho Mirella

GS. Nguyễn Tiến Dũng vừa viết một loạt bài có chủ đề “Các bài giảng về toán cho Mirella”, nói về cách dạy các khái niệm Toán học rất bổ ích. Các bạn SV Toán nên đọc kỹ các bài này.

Các bài giảng về toán cho Mirella (12)

By NTZung, on October 3rd, 2012

Tích phân là gì?

Mirella nghe lỏm được là anh của mình đã có học tô pô thì tò mò lắm, cũng đòi papa dạy cho tô pô. Nhưng papa nói, “chưa biết tích phân thì không hiểu tô pô được”. Thế là Mirella lại đòi papa dạy cho tích phân.

Vậy tích phân là gì ?

Tích phân chẳng qua là diện tích

Thế này nhé, trên mặt phẳng với hai trục tọa độ x và y, lấy một cái hình được chặn phía trên bởi đồ thị $y=f(x)$ của một hàm $f(x)$ dương nào đó, chặn phía dưới bởi trục nằm ngang $y=0$ (tiếng Việt gọi là trục hoành), và chặn hai bên trái và phải bởi hai đường thẳng $x=a$ và $x=b$ nào đó. Khi đó diện tích của hình này được gọi là tích phân của hàm $f(x)$ theo $x$ từ a đến b, và ký hiệu là

$\int_a^b f(x) dx$

Ví dụ

Nếu lấy $a=0, b=1$ , và $f(x) = C$ là một hằng số, thì hình ta nhận được là một hình chữ nhật có độ cao bằng C và đáy bằng $b-a$ , bởi vậy ta có:

$\int_a^b C dx = C (b-a)$

Nếu lấy $a=0, b=1, f(x) = x$ , thì hình mà ta nhận được chẳng qua là một hình tam giác có đáy bằng 1 và chiều cao cũng bằng 1. Diện tích của tam giác này bằng 1, nên ta có thể viết

$\int_0^1 x dx = 1/2$

Mirella đã nhìn thấy hình “con giun” để chỉ tích phân từ lúc nào đó rồi nên không thắc mắc tại sao lại viết như vậy nữa, nhưng thắc mắc: “Tại sao lại viết dx ở phía cuối tích phân? Viết thế để làm gì? Tại sao lại có thêm chữ d ở đây?”

Quả thật, có những sách vở người ta viết tắt $\int_a^b f(x) dx$ thành $\int_a^b f(x)$ , không có dx ở đó. Nhưng viết thêm dx vào đuôi tích phân là để nói rõ hơn rằng, đây là tích phân được lấy theo x chạy từ a đến b (chứ không phải lấy theo y hay z nào khác). Chữ d đặt trước x, chính là để chỉ “đi theo x”. Nó là chữ cái đầu của từ differential, có nghĩa tiếng Việt là vi phân. Vì sao lại gọi như vậy thì xem tiếp sẽ rõ.

Tích phân chẳng qua là tổng

Như phía trên ta thấy, tích phân của một hàm số chính là diện tích của hình tạo bởi đồ thị của hàm số đó và 3 đường khác: trục ngang và hai đường thẳng dọc ứng với hai đầu của tích phân. Làm sao để tính diện tích của hình này?

Một cách tính là chia nhỏ hình thành các hình con rất là hẹp, bằng cách chia đoạn [a,b] thành nhiều đoạn thẳng nhỏ rồi lấy các hình có đáy là các đoạn thẳng nhỏ đó. Mỗi hình hẹp như vậy sẽ có diện tích xấp xỉ bằng diện tích của một hình chữ nhật cùng đáy và chiều cao bằng chiều cao của một trong các điểm phía trên của hình hẹp này. Cách tính diện tích hình chữ nhật thì ta biết rồi, bằng chiều dài của đáy nhân chiều cao. Lấy tổng của các diện tích các hình chữ nhật này, ta được diện tích cần tìm, với một sai số nhỏ. Nếu ta chia thật là chi ly, thành các đoạn nhỏ li ti, thì sai số sẽ rất nhỏ, đến mức có thể bỏ được, và ta có thể coi diện tích hình của ta (xấp xỉ) bằng tổng diện tích các hình chữ nhật như vậy.

Phương pháp chia nhỏ để tính trên cho thấy, ta có thể coi một tích phân như là một tổng của rất nhiều số nhỏ cộng lại với nhau, như kiểu “tích tiểu thành đại”. Gốc Hán Việt của từ tích phân cũng chính là như vậy: tích tụ những cái nhỏ vào, cộng chúng vào với nhau. Kết quả của các quá trình “tích tụ”, ví dụ như là thích nghi dần với một cuộc sống mới, tích lũy tài sản làm giàu, hay tích lũy mỡ ở bụng thành béo ra, đều có thể hình dung như là các tích phân vậy.

Chính vì một tích phân có thể được coi như là một tổng (trong đó các số hạng được chia nhỏ ra), nên ký hiệu “con giun” của tích phân, do nhà toán học Leibniz nghĩ ra từ thế kỷ 17, chẳng qua là chữ S kéo dài ra, để chỉ một tổng. Nó là chữ cái đầu của từ “Summa” gốc La tinh (sang tiếng Anh thành “sum”, tiếng Pháp thành “somme”, tiếng Ý là “somma”, v.v.), có nghĩa là “tổng”.

Ví dụ

Ta thử tính tích phân

$\int_0^1 x^2 dx$

bằng cách chia nhỏ rồi lấy tổng này.

Chia đoạn [0,1] ra thành n đoạn con có độ dài bằng nhau: $L_i = [(i-1)/n, i/n]$ (i chạy từ 1 đến n).

Ở trên đoạn $L_i$ , đồ thị $y = x^2$ của hàm số $x^2$ có độ cao thay đổi từ $(i-1)^2/n^2$ đến $i^2/n^2$ , hình tương tứng nằm trong hình chữ nhật có độ cao $i^2/n^2$ và chứa hình chữ nhật có độ cao $(i-1)^2/n^2$. Bởi vậy diện tích của nó nằm giữa $1/n \times (i-1)^2/n^2$ và $1/n \times i^2/n^2$ . Cộng các đánh giá trên và dưới này với nhau, ta được đánh giá sau đây cho tích phân:

$\sum_{i=1}^n (1/n \times (i-1)^2/n^2) \leq \int_0^1 x^2 dx \leq \sum_{i=1}^n (1/n \times i^2/n^2)$

Hay có thể viết là

$(\sum_{i=1}^n (i-1)^2)/n^3 < \int_0^1 x^2 dx < (\sum_{i=1}^n i^2)/n^3$

Áp dụng công thức tính tổng $\sum_{i=1}^n i^2$ vào đây ta được

$(n^3/3 - n^2/2+ n/6)/n^3 < \int_0^1 x^2 dx < (n^3/3 + n^2/2 + n/6)/n^3$

hay là

$1/3 - 1/(2n)+ 1/(6n^2) \leq \int_0^1 x^2 dx \leq 1/3 + 1/(2n) + 1/(6n^2)$

Khi n rất lớn, thì những số như $1/(2n), 1/(6n^2)$ rất là nhỏ. (Chúng tiến tới 0 khi n tiến tới vô cùng), nên ta có thể bỏ chúng đi trong bất đẳng thức trên và được

$1/3 \leq \int_0^1 x^2 dx \leq 1/3$

có nghĩa là ta được kết quả

$\int_0^1 x^2 dx = 1/3$

(Tính dôi ra hay hụt đi, thì cuối cùng khi độ dài của các đoạn chia nhỏ tiến tới 0, cũng được chung một kết quả là 1/3)

Ví dụ trên cho ta hiểu ý nghĩa của tích phân như là một tổng của các đại lượng nhỏ tí xíu mà ta nhận được khi cắt cái hình cần tính diện tích thành những dải hẹp tí xíu. Cái việc “chia nhỏ li ti” đoạn [a,b] của biến x như vậy chính là ý tưởng vi phân, vì gốc của từ “vi phân” chính là “chia nhỏ li ti” (“phân” tức là chia, và “vi” tức là nhỏ li ti). Càng chia nhỏ để tính thì kết quả càng chính xác, khi mà độ dài của mỗi đoạn nhỏ tiến tới 0 thì kết quả của ta tính được tiến tới đúng kết quả chính xác. Vậy nên mới có chữ d đằng trước chữ x, để chỉ việc “vi phân theo x”.

Ghi chú

Tích phân là một trong những công cụ toán học quan trọng nhất, và không thể nắm bắt ngay trong một buổi được. Papa sẽ giảng thêm dần cho Mirella về các khía cạnh của tích phân.

Đối với các hàm số đơn giản, như là hàm $x^2$ phía trên, hay là các đa thức, các hàm số lượng giác, làm log, hàm lũy thừa, v.v., có các công thức để tính tích phân, chứ không cần phải làm công việc chia nhỏ như trên mỗi lần tính, ví dụ như là công thức

$\int_a^b x^n dx = b^{n+1}/(n+1) - a^{n+1}/(n+1)$

Tuy nhiên, với các hàm phức tạp, thì không có công thức nào “ăn sẵn” để dùng được cả, mà chỉ có thể tính xấp xỉ, chia nhỏ, kiểu này hay kiểu khác.

Trong lịch sử phát triển toán học, khái niệm đạo hàm được phát minh ra sau khái niệm tích phân. Các tích phân được nói đến từ thế kỷ 16, rồi đến thế kỷ 17 khái niệm đạo hàm mới xuất hiện (?)

Papa đã có lần nói cho Mirella về đạo hàm, những sẽ giảng lại về nó và sự liên quan đến tích phân như thế nào.

H	B	T	N	S	B	C
1	2	3	4	5	6	7
8	9	10	11	12	13	14
15	16	17	18	19	20	21
22	23	24	25	26	27	28
29	30	31